Vicerrectoría de Investigación

Lo entretenido de las ecuaciones diferenciales parciales

Lo entretenido de las ecuaciones diferenciales parciales

Más de 30 años trabajando juntos han ubicado a Manuel Elgueta y Carmen Cortázar, profesores de la Facultad de Matemáticas UC, en un prestigioso lugar de la investigación mundial en torno a esta ciencia.

En términos matemáticos, una ecuación diferencial es una relación entre una función y sus derivadas. O, dicho de otro modo, una relación entre alguna cantidad y sus tasas de cambio, que por lo general permite modelar y estudiar fenómenos matemáticos, físicos, biológicos, químicos, etc.

Son muy utilizadas en las ramas de la ingeniería, tanto en ciencias aplicadas, fundamentales o matemáticas como en economía, representando un área de investigación de gran interés en todo el mundo. En la actualidad hay muchos académicos que trabajan en su estudio y varios lo hacen de manera interconectada, sobre todo desde que el desarrollo de los computadores e internet permitió el trabajo en línea. Fueron las ecuaciones diferenciales parciales elípticas y parabólicas las que hace más de 30 años provocaron un encuentro en el conocimiento que perdura hasta hoy entre Carmen Cortázar y Manuel Elgueta, profesores de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Católica. Desde 1980 ambos han desarrollado un trabajo conjunto en esta área, reconocido a nivel internacional, porque ha permitido saber más acerca de estas ecuaciones gracias a una construcción que han hecho juntos y también en colaboración con otras mentes matemáticas de relevancia mundial, tanto chilenas como extranjeras.

Casi una cuarentena de artículos publicados en prestigiosas revistas internacionales, algunos de ellos escritos con profesores como Martin Chuaqui, Manuel del Pino y Patricio Felmer –Premio Nacional de Ciencias Exactas 2011–, y otras tantas colaboraciones y varios proyectos Fondecyt ganados, avalan la extensa trayectoria de estos docentes.

Al interior de la Facultad de Matemáticas UC, los profesores Elgueta y Cortázar forman parte de un grupo de investigación que actualmente se dedica a estudiar la existencia, unicidad y el comportamiento cualitativo de las soluciones de sistemas de ecuaciones que modelan procesos de difusión. En particular, analizan la formación de singularidades y patrones, la evolución de ciertos objetos geométricos, así como también fenómenos de concentración de energía en estructuras localizadas. Han estado abocados a esta labor junto a los profesores Marta García-Huidobro, Duvan Henao, Alberto Montero, Mónica Musso y Mariel Sáez.

Para estos investigadores, las ecuaciones diferenciales representan un universo infinito de conocimiento aún inexplorado, en el cual cada uno va llenando espacios hasta ahora vacíos, y contribuye de esta manera a la construcción de un edificio inconcluso de datos útiles que le sirve a todo el mundo y sin fecha en el tiempo. "Algunos están pensando en Chile, en Argentina, en Brasil; otros en Estados Unidos y Europa... Comenzamos a comunicarnos por correo, interactuamos, así se va dando el trabajo y de esa forma hemos colaborado con mucha gente muy entretenida, que es lo más importante para nosotros", explica la profesora Carmen Cortázar.

"Hemos tenido suerte en eso", agrega el profesor Manuel Elgueta, quien comenta que este intercambio ha incluido a brillantes mentes jóvenes que han incrementado el desarrollo de la Matemática como ciencia en nuestro país. "Y aquí nadie es el jefe de nadie. Todos los trabajos son horizontales, son iguales. Es imposible pensar con alguien que mira hacia abajo, porque debemos hacerlo juntos", acota Cortázar.

Es un camino en el cual ambos trabajan desde la teoría, aunque manteniendo una intuición sobre las aplicaciones como punto de partida de los cuestionamientos. "El hecho de que este saber vaya finalmente a tener aplicaciones hace que las preguntas que nos planteamos sean relevantes. O sea, ¿por qué me pregunto sobre esto y no sobre esto otro? Pero a nosotros lo que nos mueve es ver lo que está sucediendo con las ecuaciones diferenciales, qué pasa con ellas, cómo funcionan, qué nos están diciendo; independientemente de si lo que obtengamos se va a aplicar o no, o de dónde se va a utilizar", aclara la profesora Carmen Cortázar.

"Imagínese, por ejemplo, que en el año 1900, cuando ni siquiera existían los computadores, se descubrieron aplicaciones de las ecuaciones diferenciales que posteriormente fueron utilizadas en el escáner. Uno no investiga pensando cuándo se va a utilizar lo que se llega a concluir, puede ser hoy, mañana o en 50 años más", agrega el profesor Elgueta.

Por eso, ambos concuerdan en que en esta materia la actitud radica en estar conscientes de que hay que estudiarlo y saberlo todo, destacando que al fin y al cabo su principal motivación como investigadores es el aumento del conocimiento: a su juicio, lo que se sabe hasta ahora es muy poco y ese es el principal problema que surge cuando se plantean las aplicaciones más finas.

"Uno va llenando espacios de conocimiento que están vacíos, primero un poco aquí, luego allá; y así se va construyendo el conocimiento. Para hacer Matemáticas hay que tener un gusto especial, es casi como ser un artista plástico, pues si no te gusta realmente estar involucrado ni tienes la habilidad, es preferible que te dediques a otra cosa porque no lo vas a pasar bien", opina la profesora Cortázar.

Una hermosa amistad

El encuentro entre Manuel Elgueta y Carmen Cortázar fue producto de la casualidad. Era 1978, ella venía llegando de su doctorado en la Universidad de Nueva York y él acababa de ser contratado como profesor en la Facultad de Matemáticas con su doctorado de la Universidad de Wisconsin. "Nos metieron a una oficina juntos y estuvimos algún tiempo trabajando por separado en áreas parecidas, hasta que de pronto un día hicimos la pregunta: 'Oye, ¿tú tienes algo de esto?, ¿me puedes ayudar?' Y así empezamos", explican.

Su primera publicación juntos data de 1985 en S.I.A.M. Journal of Mathematical Analysis y se llama "The asymptotic behaviour of the solution of a nonlinear diffusion equation", aunque en 1982 habían escrito con el profesor Roberto Macías "A strong 1-1 weighted norm inequality for fractional integral operators", publicada en la revista Notas, de la Sociedad de Matemática de Chile.

Han sido más de 30 años sin discusiones, sin peleas, en los cuales junto con construir conocimiento han desarrollado una férrea amistad. Para ellos, una de las cosas más hermosas de las Matemáticas es que no hay espacio para los desencuentros. "No hay causas para pelear, porque aquí las cosas están buenas o están malas. Eso evita lo que sucede en otras áreas del conocimiento, donde se discute mucho porque hay diferencias de opinión. En Matemáticas no hay opiniones, las cosas están bien o mal, independientemente de la opinión", afirma Cortázar.

En eso se basa para ellos lo entretenido de investigar juntos en Matemáticas y que, en el fondo, es la base de una construcción intelectual en la cual el tiempo transcurrido ha fortalecido esta relación. Tanto así, que recientemente acaban de adjudicarse un nuevo proyecto Fondecyt en el tema "On non-local and classical diffusion", donde ella actúa como investigadora responsable y él como coinvestigador. El objetivo de esta investigación es el estudio de ecuaciones no locales que modelan procesos de reacción-difusión, así como también el estudio de ecuaciones diferenciales de tipo elíptico y parabólico.